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Statistikaufgabe

Gestern habe ich mit meinem Freund Toni ein paar Statistikaufgaben zwecks Klausurvorbeireitung durch gerechnet. Dabei kam eine Aufgabe, die ich sehr faszinierend fand, aber nicht lösen konnte. Daher möchte ich sie hier zur Diskussion stellen. Dem Löser winkt ein Link in meinem Blogroll sowie die Reputation, diese doch recht komplizierte Aufgabe gelöst zu haben ;).

Die Aufgabe lautet wie folgt:
In einem Kasino wird ein Spiel gespielt, welches folgende Regeln hat:

  • Es gibt 20 Karten, die von 1 bis 20 durch nummeriert sind.
  • Der Spieler muss für ein Spiel 50⬠bezahlen.
  • Es werden nacheinander alle Karten aufgedeckt.
  • Hat eine aufgedeckte Karte eine höhere Nummer als ALLE bisher aufgedeckten Karten, so erhält der Spieler 10â¬. Hieraus resultiert, dass der Spieler für die erste aufgedeckte Karte automatisch 10⬠erhält.
  • Für aufgedeckte Karten, die kleiner sind als irgendeine bereits aufgedeckte Karte passiert nix (kein Abzug).

  • Aus den Regeln ergeben sich folgende maximalen Gewinn und Verlustmöglichkeiten:

  • Deckt der Spieler als erste Karte die 20 auf, so kann er logischerweise keine Karte mehr aufdecken, die gröÃer ist als alle bereits aufgedeckten Karten. Er hat dann einen Verlust von 40⬠(50⬠Einsatz-10⬠Gewinn).
  • Deckt der Spieler idealerweise alle Karten in aufsteigender Reihefolge auf, so hat er einen Gewinn von 150⬠(200⬠Gewinn-50⬠Einsatz).

  • Die Frage lautet nun, wie groà die Chancen des Spielers sind, Gewinne, Verluste oder eine 0-Runde zu spielen, also wie „fair“ das Spiel ist. Weiterhin soll betrachtet werden, wie sich diese Chancen bei dem gleichen Spiel mit N Karten verändern.

    9 Responses to “Statistikaufgabe” »»

    1. Comment by Secco | 12:27 21.09.05|X

      Die Möglichkeiten verschiedene Kartenfolgen aufzudecken, die sich kombinatorisch ergeben, sind 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Es handelt sich hierbei um einen Versuch ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
      Davon ist genau eine die ideale Reihenfolge, d.h. P(ideal)=1/20!. Für den Worst-Case gilt: zuerst wird die 20 gezogen P(erste 20)=1/20. Für die darauffolgenden Karten gibt es anschlieÃend 19! Möglichkeiten der Anordnung. Von allen 20! möglichen Anordnungen gehören damit 19! Möglichkeiten zum Worst-Case. Es bleiben dann 19!*19 Nicht-Worst-Case Anordnungen, d.h. P(nicht Worst-Case)=19/20 .

      Wiki Statistik

    2. Comment by Secco | 16:19 21.09.05|X

      Bei der ersten Karte 19 muss im folgenden die 20 irgendwann auftauchen. Entsprechend ist P(19,20)=1/20.
      Für die Ergebnisse der anderen Aufdeckreihenfolgen ist die Reihenfolge, wann eine bestimmte Karte aufgedeckt ist sehr wichtig. Hier dürfte die bedingte Wahrscheinlichkeit uns weiter helfen.
      Bsp.: Unter der Bedingung, dass die erste aufgedeckte Karte die 18 ist P(18 als erste)=1/20, ist entscheidend, wann die 20 aufgedeckt wird, vor oder nach der 19.
      Die Wahrscheinlichkeit, dass die 19 vor der 20 aufgedeckt wird liegt bei 1/2, da es lediglich diese beiden Möglichkeiten gibt. Die Reihenfolge 18, 19, 20 hat entsprechend, genauso wie die Reihenfolge 18, 20, 19 die Wahrscheinlichkeit P(18, 19, 20)=1/20*1/2=P(18, 20, 19). Alle anderen Karten spielen hier keine Rolle mehr.
      Zussammen gefaÃt bedeutet dies:

        P(20 erste) = 1/20, ein Gewinn
        P(19 erste, 20) = 1/20, zwei Gewinne
        P(18 erste, 19, 20) = 1/20*1/2, drei Gewinne
        P(18 erste, 20, 19) = 1/20*1/2, zwei Gewinne

    3. Comment by MSC | 16:34 21.09.05|X

      Betrachten wird das Ganze mal für P(17 erste):
      Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten für die Reihenfolge, wie die folgenden Karten 18, 19 und 20 aufgedeckt werden können. Günstigste hierbei ist 18, 19, 20 mit P(18, 19, 20) = 1/6. Sie führt zu P(17 erste, 18, 19, 20) = 1/20*1/6 und folglich 4 Gewinnen. Worst-Case sind zwei Gewinne, mit P(17 erste, 20) = P(17 erste, 20, 18, 19) + P(17 erste, 20, 19, 18) = 1/20*2/6 = 1/20*1/3. Die Wahrscheinlichkeit die 20 aus der Menge 18, 19, 20 zu ziehen liegt bei 1/3.

        P(17 erste, 18, 19, 20) = 1/20*1/6, 4 Gewinne
        P(17 erste, 20) = 1/20*1/3, 2 Gewinne
        P(17 erste, 18, 20, 19) = 1/20*1/6, 3 Gewinne
        P(17 erste, 19, 18, 20) = 1/20*1/6, 3 Gewinne
        P(17 erste, 19, 20, 18) = 1/20*1/6, 3 Gewinne


      Noch immer keine allgemeingültige Formel. Aber steter Tropfen ölt den Stein 😉 Und einige RegelmäÃigkeiten kann man schon erkennen…

    4. Comment by Secco | 17:26 21.09.05|X

      Abstahieren wir die bisherigen Erkenntnisse doch mal etwas:
      Wird die Karte x gezogen, so gibt es maximal 20-x+1 Gewinne. Dabei gilt P(maximaler Gewinn) = 1/(20-x)!.
      Ausserdem gibt es für die Karten y>x, welche noch nicht gezogen wurden, y! Anordnungsmöglichkeiten. (y=20-x)Dabei sind P(x, 20) = 1/20*1/y mit genau 2 Gewinnen. Nur einen Gewinn gibt es ja lediglich bei x=20.
      Bei genau drei Gewinnen gilt es heraus zu finden, wieviele Kombinationen dies zulassen. Bei x=16 wären dies z.B. die Kombinationen (16, 17, 20), (16, 18, 20) und (16, 19, 20). Kombinationen wie (16, 18, 19) gehen nicht, da die 20 immer vorkommt. Dies führt zur Erkenntnis, dass es für die Stelle nach der 16 und zwischen der 20 genau 20-16-1=3, also 20-x-1 = y-1 Möglichkeiten gibt. Die -1 steht für die 20, deren Position ganz hinten fest steht. Da es für die Karten y genau y! Anordnungsmöglichkeiten gibt, fallen exakt 20-x-1 darunter. Daher P(x, q, 20)= 1/20*(y-1)/y!. Dies ist aber noch durch Beispiele (x=17, x=15) zu prüfen.

    5. Comment by Jan | 10:13 22.09.05|X

      Hallo Secco,

      ich möchte mich auch mal einmischen. Ich gebe dir mal einen kleinen Tipp , da ich dir deine Knobelei aufrecht erhalten will.

      Unter n gezogen Karten befinden sich:

      Genau n Gewinne bei 1/n!
      Genau n-1 Gewinne bei (n-1)+ /n!

      Mit (n-1)+ meine ich die Addition. Weià nicht mehr wie das heiÃt.

      Zum Beispiel (4)+ ist 1+2+3+4 klar?

      Und noch eins:
      Genau 1 Gewinn unter n;
      (n-1)! /n!

    6. Comment by MSC | 11:51 22.09.05|X

      Hi Jan,
      wenn du magst, kannst du auch gerne die Aufgabe lösen. Dann kriegst du auch den Preis 😉

    7. Comment by Ledil | 14:01 22.09.05|X

      Finsel rulez :)

    8. Comment by TestMaster | 1:07 25.09.05|X

      Hallo,
      hmmmmm an so eine Aufgabe kann ich mich erinnern.:-))
      Aber seccos überlegungen geben mir zu denken.:-))
      Ich weià nämlich das man solche Aufgaben mit recht weniger Aufwand lösen kann als es secco will.:-)))

      Finsel liest nicht die Aufgaben (glaube ich).:-)))
      Es geht nicht nur um Gewinne sondern wie „fair“ das Spiel ist. Also man setzt 50⬠und kann entweder eine 0-Runde spielen. d.h man zieht 5 Karten „richtig“ und gewinnt 50â¬.
      Alle anderen 15 Karten sind „verloren“ es passiert aber nicht.
      Dann kann man verlieren indem man „nur“ 4 ,3 ,2 oder nur 1 Karte „richtig“ zieht. Somit hat man 50⬠gesetzt aber nur 10,20,30 bzw 40 ⬠gewonnen. Oder aber man Gewinnt.
      d.h ab der 6-ten „richtig“ gezogenen Karte hat man 10⬠gewonnen.

      Denkt doch mal ganz „einfach“ und nicht so kompliziert.:-))
      Ich denke „einfach aus dem Bauch heraus“ das dieses Spielt nicht sehr „fair“ ist.:-)). Erst ab der 6-ten richtig gezogenen Karte hat man 10⬠„gewonnen“. Aber wie groà ist die Wahrscheinlichkeit das man 6 mal eine Karte zieht die gröÃer ist als ALLE bisher gezogenen.?!?!.
      Bei jedem zug steigt die Wahrscheinlichkeit eine der höheren Karten zu ziehen. Man legt ja nicht zurück. Ich ziehe z.b die 2 das ist super dann die 6 dann 8 dann 1. Bis jetzt habe ich nur 3 mal Gewonnen.!!. die 2 weil dies mein erster Zug war. dann 6 ist gröÃer als 2 also 20⬠dann 8 ist gröÃer als 2 und als 6 also 30⬠dann die 1 ist scheiÃe.:-)).dann aber muss ich die 9 ziehen.!!!. alle anderen karten bedeuten kein gewinn. Wenn ich z.b dann die 4, 5, 6 ziehe so habe ich keinen Gewinn.!!. Ich habe aber nun schon fast 10 Karten weg gelegt. Die chance das nun eine Hoche karte kommt ist zwar schön weil die Karte ja höher als die 8 wäre. Aber das ich z.b die 20 ziehe ist auch möglich. ziehe ich nun die 20 so habe ich 10⬠verloren. Da ich keine Karte ziehen kann die gröÃer ist als alle anderen.

      Also nochmal
      50⬠setzen.
      Nun ziehe ich. die 5
      Bleiben noch 19 Karten und -40â¬
      nun ziehen ich die 3 bleiben noch 18 Karten und immernoch -40â¬
      nun ziehe ich die 8 bleiben noch 17 Karten und -30â¬
      nun ziehe ich die 7 bleiben noch 16 Karten und -30â¬
      nun ziehe ich die 12 bleiben noch 15 Karten und -20â¬
      usw usw usw. Ich habe nun 6 Mal gezogen ganz zufällig und bin noch immer bei -20â¬.

      Wie gesagt das hatten wir mal in der Vorlesung und ich weià das wir alle da waren in B002.:-)))
      Habe aber keine Ahnung mehr wie man diese Aufgaben löst. Aber vom gefühl her ist dies ein nicht faires spiel.

      gruÃ
      Testmaster

    9. Comment by TestMaster | 1:10 25.09.05|X

      noch mal was.
      uppss..

      dann aber muss ich die 9 ziehen.!!!. alle anderen karten bedeuten kein gewinn.

      das war natürlich nicht so gemeint.:-))
      also ich muss nicht die 9 ziehen sondern eine Karte >8
      mit alle andern Karten bedeuten kein gewinn habe ich an Karten

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